Par Elisha Bajemon, Ingénieur IA chez TW3 Partners. Dernière mise à jour : 15 novembre 2026.
En bref
Pearson mesure si les valeurs suivent une droite, Spearman compare leur classement et Kendall l’ordre des observations prises par paires. Une relation qui conserve son sens, croissant ou décroissant, est dite monotone ; elle peut suivre une courbe. Selon les documentations de Pearson, de Spearman et de Kendall éditées par SciPy, ces coefficients vont de -1 à +1, mais répondent à des questions différentes. Pour une direction métier, le choix engage ce que l’équipe entend par « résultats cohérents ». La prépublication TW3 Scoring Without the Engine, déposée sur arXiv le 7 septembre 2026, apporte un exemple de divergence entre mesure sur les valeurs et mesure sur les rangs. Le tableau de décision proposé ci-dessous associe chaque question à un coefficient, aux conventions à fixer et à la manière de rapporter l’incertitude.
1. Quelle relation cherche-t-on à mesurer ?
Le choix commence par l’objet de la comparaison : les écarts entre valeurs, leur classement ou l’ordre relatif des observations prises par paires. Les définitions de SciPy, dans les pages de référence citées plus haut, permettent de séparer ces questions avant tout calcul.
Une relation linéaire désigne ici une relation représentable par une droite. Pearson mesure dans quelle mesure les variations des observations suivent cette forme. Les distances entre valeurs entrent donc dans son calcul. Une relation monotone conserve un sens de variation : lorsque la première variable augmente, la seconde suit un ordre croissant ou décroissant. Spearman porte sur cet ordre. Kendall examine, pour chaque paire d’observations, si les variables donnent le même ordre ou un ordre inverse.
Cette distinction compte lorsqu’une équipe compare des mesures ou des évaluations. S’intéresse-t-elle aux écarts mesurés, à une hiérarchie, ou à la cohérence des comparaisons entre éléments ? TW3 recommande de formuler cette question dans les termes de la décision attendue, puis de choisir la statistique correspondante.
Il faut aussi distinguer association et accord des valeurs absolues. La formule de Pearson publiée par SciPy centre chaque variable autour de sa moyenne : un décalage constant disparaît de ce calcul. Une forte corrélation peut donc accompagner des niveaux différents. Pour décider si des mesures sont interchangeables, notre recommandation est d’examiner aussi leurs écarts dans l’unité métier concernée.
2. Que mesure Pearson ?
Pearson mesure une association linéaire entre des valeurs numériques. Dans sa documentation de pearsonr, sans date éditoriale, SciPy présente le calcul à partir des écarts de chaque observation à la moyenne de sa variable.
Le numérateur additionne les produits de ces écarts ; le dénominateur normalise le résultat par leur dispersion. C’est le sens de « covariance normalisée » : la variation commune est rapportée à la variation propre de chaque variable. Cette construction permet de lire le sens de l’association sans conserver les unités initiales.
La dispersion doit toutefois permettre le calcul. Si une variable est constante, SciPy indique que le coefficient est indéfini et renvoie NaN, qui signale ici un résultat indéfini. Une entrée presque constante déclenche un autre avertissement, car les soustractions peuvent introduire des erreurs numériques. Dans une restitution, conserver cet avertissement évite de donner une précision apparente à un calcul instable.
La normalité intervient dans le test proposé par défaut, et non dans la formule descriptive du coefficient. SciPy calcule cette valeur p sous une hypothèse de distributions normales indépendantes. La valeur p indique alors la probabilité, sous cette hypothèse, d’obtenir une corrélation au moins aussi extrême que celle observée. L’intervalle de confiance suit encore un choix distinct : la fonction utilise par défaut la transformation de Fisher et propose aussi le bootstrap, un rééchantillonnage des données. Le compte rendu doit donc nommer séparément le coefficient, le test et la méthode d’intervalle.
3. Que mesure Spearman ?
Spearman mesure une association entre les rangs des observations, adaptée à une question de relation monotone. Le manuel officiel de R, rubrique cor, sans date éditoriale, explicite le calcul : remplacer les valeurs par leurs rangs, puis calculer leur corrélation de Pearson. Les écarts entre les valeurs initiales cèdent ainsi la place aux écarts entre positions.
Les égalités demandent une convention. La documentation SciPy de rankdata, sans date éditoriale, décrit notamment le rang moyen : les valeurs ex æquo reçoivent la moyenne des places qu’elles auraient occupées. Elle distingue cette règle de la méthode « ordinal », qui attribue des rangs distincts selon l’ordre des observations dans le tableau de données. Pour rendre une analyse reproductible, précisez la convention employée et gardez les égalités observées dans les données.
Dans la documentation de spearmanr, sans date éditoriale, SciPy avertit qu’une entrée constante rend le coefficient indéfini. Le passage aux rangs ne crée donc aucune information d’ordre lorsque toutes les valeurs sont égales. La même page prévoit plusieurs traitements des valeurs manquantes : renvoyer NaN, déclencher une erreur ou les omettre dans le calcul.
SciPy réserve la précision de sa valeur p approchée aux très grands échantillons, indiqués comme supérieurs à 500 observations, et invite à envisager une permutation en dessous. Cette réserve concerne le test associé. Le mécanisme du test fait l’objet de l’article Test de permutation sur petit échantillon : comprendre la limite d’une valeur p.
4. Que mesure Kendall ?
Kendall mesure la concordance de l’ordre entre des paires d’observations. La documentation SciPy de kendalltau, sans date éditoriale, définit son calcul à partir des nombres de paires concordantes et discordantes, avec une correction selon les égalités.
Une paire est concordante lorsque les variables placent ses éléments dans le même ordre ; elle est discordante lorsque cet ordre s’inverse. Le numérateur du tau-b soustrait le nombre de paires discordantes au nombre de paires concordantes. Son dénominateur tient compte des paires liées uniquement dans la première variable ou uniquement dans la seconde. Une paire ex æquo dans les deux variables n’entre dans aucun de ces derniers décomptes.
SciPy propose le tau-b par défaut ainsi que le tau-c. Ces variantes diffèrent par leur normalisation et donnent les mêmes valeurs p dans cette implémentation. En l’absence d’égalités, elles se ramènent au tau-a. Il est donc utile d’écrire « tau-b de Kendall » dans un rapport, afin que le lecteur identifie la convention retenue.
Le calcul exact de la valeur p offert par kendalltau exige l’absence d’ex æquo. Cette restriction porte sur cette option de test. Enfin, les amplitudes de Kendall et de Spearman ne sont pas interchangeables : le premier agrège des comparaisons de paires, le second corrèle des rangs. Comparer leurs seuls niveaux pour désigner la méthode gagnante reviendrait à changer la question en cours d’analyse.
5. Pourquoi les coefficients peuvent-ils diverger ?
Les coefficients peuvent diverger parce qu’ils utilisent différemment les valeurs, les rangs et les égalités. L’annexe G de la prépublication TW3 Scoring Without the Engine, déposée sur arXiv le 7 septembre 2026, texte intégral, documente ce point sur 500 observations non modifiées de son corpus.
Pour les variables nommées shannon_entropy et information_density, les auteurs rapportent une corrélation de Pearson de 0,94 et une corrélation de Spearman de 0,50. Ils relient cet écart aux égalités au plafond : la première variable vaut exactement 100 pour 84 % des observations. Le tableau 15 présente la matrice de Spearman, et sa légende rappelle la valeur de Pearson pour cette paire.
Ce constat invite à examiner la distribution avant de commenter une corrélation. Lorsque de nombreuses observations ont la même valeur maximale, leur classement comporte des ex æquo. Les auteurs documentent ici le recouvrement entre des variables et la saturation de l’une d’elles ; ces résultats restent attachés à leur corpus. Une différence entre coefficients ne suffit pas, à elle seule, à établir un mécanisme causal.
Dans une autre partie du protocole, la section 5.4 prévoit de rapporter Pearson et Spearman avec leur incertitude, estimée par bootstrap ; le tableau 2 présente les résultats de confirmation, avec les intervalles de Pearson. Pour une adaptation métier, nous recommandons de conserver cette séparation entre estimation et incertitude, avec les conventions de calcul visibles dans le livrable.
6. Comment fixer et rapporter le choix ?
Fixez une mesure principale en fonction de la question métier avant de consulter les résultats, puis nommez les analyses complémentaires. Le tableau suivant propose une grille de travail du cabinet fondée sur les définitions de SciPy et de R présentées ci-dessus.
| Question à traiter | Coefficient envisagé | Conventions à rendre visibles | Incertitude à documenter |
|---|---|---|---|
| Les valeurs suivent-elles une relation linéaire ? | Pearson | Variables, unités, observations retenues, entrées constantes | Hypothèses du test et méthode de l’intervalle |
| Les valeurs suivent-elles un ordre monotone ? | Spearman | Calcul des rangs, ex æquo, données manquantes | Méthode de calcul de la valeur p et effectif analysé |
| Les comparaisons entre paires donnent-elles le même ordre ? | Kendall | Variante du tau et égalités | Méthode exacte ou approchée, avec ses conditions |
Pour appliquer cette grille, écrivez d’abord ce qu’une observation représente et comment les valeurs sont appariées. Indiquez ensuite les exclusions éventuelles, puis le nombre d’observations effectivement analysées. Cette pratique proposée vise à permettre une relecture du calcul sur le même périmètre.
Une analyse complémentaire peut porter sur une autre question. Associer Spearman à Pearson permet alors de lire l’ordre à côté de la relation linéaire ; ajouter Kendall demande de préciser l’intérêt des comparaisons par paires. Présentez chaque résultat avec sa définition, au lieu d’en retenir seulement le niveau le plus élevé.
Pour la décision, ajoutez enfin une phrase qui relie le résultat à l’usage prévu. S’agit-il de comparer des classements ou d’apprécier la proximité de mesures ? Le coefficient principal, son incertitude et les limites de cette lecture doivent rester identifiables séparément. Cette organisation du rapport est une proposition de méthode du cabinet.
FAQ
Quel coefficient choisir pour des rangs ?
Spearman répond à une question d’association entre rangs ; Kendall décrit leur concordance par paires. Le choix dépend de l’interprétation attendue et du traitement des égalités. Les documentations de SciPy et de R citées dans le corps permettent de préciser ces conventions avant le calcul.
Kendall et Spearman ont-ils la même échelle ?
Ils partagent des bornes, mais leur calcul diffère : corrélation des rangs pour Spearman, bilan des paires concordantes et discordantes pour Kendall. Leur amplitude ne s’interprète donc pas comme une note commune de qualité. Le rapport doit conserver le nom du coefficient et, pour Kendall, sa variante.
Pearson exige-t-il une normalité pour être calculé ?
Sa formule descriptive repose sur les écarts aux moyennes et leur dispersion. La normalité intervient dans les hypothèses du test par défaut décrit par SciPy. Il faut vérifier séparément que les variables permettent un coefficient défini et que la méthode d’inférence choisie convient aux données.
Une corrélation mesure-t-elle un accord absolu ?
Elle décrit une association linéaire ou ordinale selon le coefficient. Pour Pearson, le centrage fait disparaître un décalage constant entre les niveaux. Si la décision exige des valeurs proches dans une même unité, l’examen des écarts doit accompagner celui de l’association.
Peut-on choisir après avoir vu les résultats ?
La méthode proposée ici consiste à justifier le coefficient principal avant l’analyse. Une exploration ultérieure peut être présentée comme complémentaire, avec sa question et ses conventions propres. Cette distinction rend visible la place de chaque résultat dans la décision.
Pour aller plus loin
- Ex æquo dans un classement : conventions, coefficients et décisions
- Moyenner des corrélations par groupe : quelle population représente le résultat ?
- Transformer un score : quand l’ordre est conservé et quand il change
Sources
- SciPy, pearsonr, documentation sans date éditoriale, consultée le 9 octobre 2026.
- SciPy, spearmanr, documentation sans date éditoriale, consultée le 9 octobre 2026.
- SciPy, kendalltau, documentation sans date éditoriale, consultée le 9 octobre 2026.
- SciPy, rankdata, documentation sans date éditoriale, consultée le 9 octobre 2026.
- R, Correlation, Variance and Covariance (Matrices), documentation sans date éditoriale, consultée le 9 octobre 2026.
- TW3 Partners, Scoring Without the Engine, prépublication déposée sur arXiv le 7 septembre 2026, notice, consultée le 9 octobre 2026 ; texte intégral HTML et PDF lus le même jour.